2.1.1 Média Aritmética (X)
Definição:
Média Aritmética é o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles:
X = [å(i→n) xi] / n
Sendo:
X a média aritmética;
xi os valores da variável;
n o número de valores.
2.1.1.1 Dados Não-Agrupados
Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados, determinamos a média aritmética simples.
Exemplos:
→ Sabendo-se que a produção leiteira diária de vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 1 litros, temos, para produção média da semana:
X = (10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 +1) : 7 = 14
Logo: X = 14 litros
2.1.1.2 Desvio em Relação à Média
Desvio em relação ã média é a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética.
Designando o desvio por d1, temos:
d1 = x1 – X
d1 = 10 – 14 = -4
d2 = 0 .... d7 = -2
2.1.1.3 Propriedades da Média
1) A soma algébrica dos desvios tomados em relação a média é nula: å(i = 1→ k) d1 = 0
No exemplo anterior, temos: å(i = 1→ 7) d1 = (-4) + 0 + (-1) + ... + 7 = 0
2) Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) de todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante: y1 = xi ± c => Y = X ± c
Somando 2 a cada um dos valores da variável do exemplo dado, temos: y1 = 12, y2 = 16, y3 = 15, ..., y7 = 14
Daí: å(i = 1→ 7) y1 = 12 + 16 + 15 + ... + 14 = 112
Como n = 7, vem: Y = 112 ÷ 7 = 16 => Y = 14 + 2 => Y = x + 2
3) Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante: y1 = x1 . c => Y = X . c ou y1 = x1 ÷ c => Y = X ÷ c
Multiplicando por 3 cada um dos valores da variável do exemplo dado, obtemos: y1 = 30, y2 = 42, y3 = 39, ..., y7 = 36
Daí: å(i = 1→ 7) y1 = 30 + 42 + 39 + ... + 36 = 294
Como n = 7, vem: Y= 294 ÷ 7 = 42 => Y= 14 x 3 => Y= x . 3
2.1.1.4 Dados Agrupados
2.1.1.4.1 Sem Intervalos de Classe
Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino:
TABELA 2.1
No DE MENINOS
fi
0
1
2
3
4
2
6
10
12
4
∑ = 34
Neste caso, como as freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fator de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada, dada pela fórmula:
X = (∑ xifi) ÷ (∑ fi)
O modo mais prático de obtenção da média ponderada é abrir, na tabela, uma coluna correspondente ao produto xifi:
TABELA 2.2
xi
fi
xifi
0
1
2
3
4
2
6
10
12
4
0
6
20
36
16
∑ = 34
∑ = 78
Temos, então: ∑ xifi = 78 e ∑ fi
Logo: X = (∑ xifi) ÷ (∑ fi) = 78 ÷ 34 = 2,3
Nota:
· Sendo x uma variável discreta, como interpretar o resultado obtido, 2 meninos e 3 décimos de menino?
O valor médio 2,3 meninos sugere, neste caso, que o maior número de famílias tem 2 meninos e 2 meninas, sendo, porém, a tendência geral de uma leve superioridade numérica em relação ao número de meninos.
Resolva:
Complete o esquema para o cálculo da média aritmética da distribuição:
xi
1 2 3 4 5 6
fi
2 4 6 8 3 1
Temos:
xi
fi
xifi
1
2
3
4
5
6
2
4
6
8
3
1
2
...
...
...
...
...
∑ = ...
∑ = ...
Como: ∑ xifi = ...., ∑ xifi = .... e X = (∑ xifi) ÷ (∑ fi)
Temos: X = .... ÷ .... = 3,4
2.1.1.4.2 Com Intervalos de Classe
Neste caso, convencionamos que todos os valores excluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula:
X = (∑ xifi) ÷ (∑ fi)
Onde xi é o ponto médio da classe.
Consideremos a distribuição:
TABELA 2.3
i
ESTATURAS
(cm)
fi
1
2
3
4
5
6
150 ι— 154
154 ι— 158
158 ι— 162
162 ι— 166
166 ι— 170
170 ι— 174
4
9
11
8
5
3
∑ = 40
Pela mesma razão do caso anterior, vamos, inicialmente, abrir uma coluna para os pontos médios e outra para os pontos xifi:
TABELA 2.4
i
ESTATURAS
(cm)
fi
xi
xifi
1
2
3
4
5
6
150 ι— 154
154 ι— 158
158 ι— 162
162 ι— 166
166 ι— 170
170 ι— 174
4
9
11
8
5
3
152
156
160
164
168
172
608
1.404
1.760
1.312
840
516
∑ = 40
∑ = 6.440
Como, neste caso: ∑ xifi = 6.440, ∑ fi = 40 e X = (∑ xifi) ÷ (∑ fi)
Temos: X = 6.440 ÷ 40 = 161 cm
Resolva:
Complete o esquema para o cálculo da média aritmética da distribuição:
xi
450 − 550 − 650 − 750 − 850 − 950 − 1.050 − 1.150
fi
8 10 11 16 13 5 1
Temos:
i
xi
fi
xifi
1
2
3
4
5
6
7
500
....
....
....
....
....
1.100
8
10
11
16
13
5
1
4.000
....
....
....
....
....
....
∑ = ....
∑ = ....
Logo: X = .... ÷ .... = R$ 755,00
2.1.1.4.3 Processo Breve
Com o intuito de eliminarmos o grande número de cálculos que as vezes se apresentam na determinação da média, empregamos o que denominamos processo breve (em oposição ao processo utilizado anteriormente – processo longo), baseado em uma mudança da variável x por outra y, tal que:
y1 = (x1 – x0) ÷ h
onde x0 é uma constante arbitrária escolhida convenientemente dentre os pontos médios da distribuição – de preferência o de maior freqüência.
Fazendo essa mudança de variável, de acordo com a segunda e a terceira propriedades da média, ela resulta diminuída de x0 e dividida por h; mas isso pode ser compensado somando x0 a média da nova variável e, ao mesmo tempo, multiplicando-a por h. Resulta, então, a fórmula modificada.
X = x0 + (∑ yifi x h) ÷ (∑ fi)
Assim, a distribuição da Tabela 2.3, tomando para o valor x0 o ponto médio de maior freqüência (se bem que podemos tomar qualquer dos valores do ponto médio), isto é:
x0 = 160
como h = 4, temos para valores da nova variável:
y1 =(152 – 160) ÷ 4 = -2 y2 =(156 – 160) ÷ 4 = -1 .... y6 =(172 – 160) ÷ 4 = 3
Vamos, então, calcular a média da distribuição da Tabela 2.3 pelo processo breve.
Começamos por completar a tabela dada com as colunas correspondentes aos pontos médios (xi), aos valores da nova variável (yi) e aos produtos e aos produtos yifi:
TABELA 2.5
i
ESTATURAS
(cm)
fi
xi
fi
xifi
1
2
3
4
5
6
150 ι— 154
154 ι— 158
158 ι— 162
162 ι— 166
166 ι— 170
170 ι— 174
4
9
11
8
5
3
152
156
160
164
168
172
-2
-1
0
1
2
3
-8
-9
0
8
10
9
0
-17
0
0
0
27
x0 = 160
∑ = 40
∑ = 10
Temos, então, x0 = 160, ∑ yifi = 10, ∑ fi = 40 e h = 4.
Substituindo esses valores na fórmula: X = x0 + (∑ yifi x h) ÷ (∑ fi)
Vem: X = 160 + 10 x 4 ÷ 40 = 160 + 1 = 161 cm
Notas:
· O processo breve, com a nova variável definida por nós, só pode ser usado em distribuições que apresentam intervalos de classe de mesma amplitude.
· O processo breve pode, também, ser aplicado para as distribuições sem intervalos de classe, bastando fazer h = 1.
Fases para o cálculo da média pelo processo breve:
1) Abrimos uma coluna para os valores xi
2) Escolhemos um dos pontos médios (de preferência o de maior freqüência) para o valor de x0.
3) Abrimos uma coluna para os valores de y1 e escrevemos zero na linha correspondente a classe onde se encontra o valor de x0; a seqüência -1, -2, -3, ..., logo acima do zero, e a seqüência 1, 2, 3, ..., logo abaixo.
4) Abrimos uma coluna para os valores do produto yifi, conservando os sinais + ou -, e, em seguida, somamos algebricamente esses produtos.
5) Aplicamos a fórmula.
Exercício Resolvido:
1) Calcule a média aritmética, pelo processo breve, da distribuição:
CUSTOS (R$)
450 − 550 − 650 − 750 − 850 − 950 − 1.050 − 1.150
fi
8 10 11 16 13 5 1
Temos:
i
xi
fi
yi
xifi
1
2
3
4
5
6
7
500
600
700
800
900
1.000
1.100
8
10
1
16
13
5
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
-24
-20
-11
0
13
10
3
0
0
-55
0
0
0
26
x0 = 800
∑ = 64
∑ = -29
Como: h = 100
Vem: X = x0 + (∑ yifi x h) ÷ (∑ fi) = 800 + (-29) 100 ÷ 64 = 754,69 = R$ 755,00
Resolva:
Complete o esquema para o cálculo da média aritmética da distribuição:
xi
30 − 50 − 70 − 90 − 110 − 130
fi
2 8 12 10 5
Temos:
i
xi
fi
yi
xifi
1
2
3
4
5
40
...
...
...
...
...
...
12
...
...
...
...
...
...
2
...
... ...
...
...
... ...
x0 = ...
∑ = ...
∑ = ...
Como: h = ...
Vem: X = x0 + (∑ yifi x h) ÷ (∑ fi) = ... + ... x ... ÷ ... = 84,3
Emprego da Média
A média é utilizada quando:
a) Desejamos obter a medida de posição que possui a maior estabilidade;
b) Houver a necessidade de um tratamento algébrico ulterior.
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